modulo ist ganzzahlige Division mit Rest, wie mans mal in der Grundschule hatte ;-) 20 durch 3 = 6 Rest 2 (also 20 modulo 3 = 2) oder z.B. 20 mod 5 = 0, dabei liegt bei y mod z das Ergebnis zw. 0 und z-1.
die 3 Fälle kann man meines Erachtens nach nicht zusammenpacken - bei solchen Aufgaben ist meist ne Induktion schon etwas tricky (einbringen der IV, Schritt von n auf n+1, Zusammenfassung von IS und IB) - formal kann man es sicher noch besser machen wie ich - der Weg dürfte aber richtig sein...
ne andere Induktion:
Beh.: jede Zahl n>=2 besteht komplett aus Primteilern, z.B. 210 = 2*3*5*7, 50 = 2*5*5, 99 = 3*3*11
Dazu wird definiert:
1) 2 ist Primzahl
2) eine Primzahl besteht aus Primteilern (nämlich nur sich selbst)
(IA) n=2 (o.k. nach Vorraussetzung/Definition)
(IV) sei n beliebig, aber fest und bestehen alle Zahlen x (2 aus Primteilern
(IB) => n+1
Fall 1) n+1 ist Primzahl: nach Vorraussetzung/Definition o.k.
Fall 2) n+1 ist nicht Primzahl:
nach (IV) existieren 2 Zahlen a,b aus N mit a*b=n+1 q.e.d.
Soll zeigen, dass ne Induktion manchmal nicht so einfach ist - hier wird mit ein paar Zeilen gezeigt, dass alle Zahlen außer 1 aus Primzahlen bestehen (ich fand diese Tatsache in der Vorlesung erstmal verblüffend sowie die Art des Beweises...)
noch ne lustige Induktion, wo ich schon dabei bin:
BEH: Alle Autos haben dieselbe Farbe.
1 Auto hat dieselbe Farbe wie es selbst (IA). Annahme: je n Autos A1,A2,...,An haben dieselbe Farbe (IV). Von n+1 Autos haben nach IV die ersten n Autos A1,...,An und die letzten n Autos A2,...,An+1 dieselbe Farbe. Dann hat das (n+1)-te Auto dieselbe Farbe wie die Autos A2,...,An, die wiederum dieselbe Farbe wie die ersten n Autos A1,...,An haben müssen, da ein Auto seine Farbe nicht wechselt, so dass schließlich alle n+1 Autos A1,...,An+1 dieselbe Farbe haben - q.e.d.
Tja der Fehler liegt nur bei n=1! Ansonsten ist die Induktion 100% korrekt...dass Induktion funktioniert, kann (muss) man noch mit den Peano-Axiomen beweisen ;-)
Gruss firesnake
firesnake (Anonym)
