... habe ich natürlich gemerkt, dass da auch Kosten auf mich zukommen könnten.
Versicherung ist nur ein der Kostenpositionen. In DE zahlst Du z.B. auch noch Grundsteuer, Gebühren für Wasser und Abwasser (ggf. zusätzlich für versiegelte Flächen), Müllgebühren, Grundpreis für Strom und Gas, ggf. Hausrats und Haftpflichtversicherung.
Und es können weitere Kosten entstehen um in Abwesenheit Deiner Verkehrssicherungspflicht nachzukommen. D.h.: Selbst wenn Du die Bude nur noch verschimmeln lassen willst, wird Dich das monatlich voraussichtlich einen 3-stelligen Betrag kosten.
Gelegentlich kannst Du (abhängig von lokalen Regelungen) als Anlieger auch noch an den - nicht unerheblichen - Kosten im angrenzenden Straßenraum herangezogen werden.