Der Wortlaut des Gesetzes ist immer nur ein Teil der Wahrheit. Der fehlende Teil wird durch die Rechtsprechung ergänzt.
Eine Abmahnung wird in diesem Fall (unvollständiges Impressum, weil Nachname fehlt) wohl nicht erfolgen, weil nichts verkauft und auch keine Dienstleistung angeboten wird, so daß niemand behaupten kann, die Betreiberin hätte sich einen unzulässigen Wettbewerbsvorteil verschafft.
Aber:
Voraussetzung für eine Kennzeichnungs- oder Impressumspflicht nach § 5 TMG ist zunächst ein "geschäftsmäßiges Betreiben" des Internetangebotes. Es muss sich also um ein Angebot handeln, das einer nachhaltigen und auf Dauer angelegten Tätigkeit dient. Eine Gewinnerzielungsabsicht ist für eine Geschäftsmäßigkeit nicht erforderlich, auch nichtkommerzielle Angebote können dieser Kennzeichnungspflicht unterliegen.
Quelle:
http://www.e-recht24.de/artikel/datenschutz/16.html