Es kommt darauf an, welche Kontoart und welche Voreinstellungen Du hast. Wenn Du ein POP3/SMTP-Konto hast, gibt es die Einstellung: Haken bei "Kopie aller Nachrichten auf dem Server belassen" - über E-Mail-Konten [Konto auswählen] -> Ändern, siehe Anleitung hier.
Bei der o. g. Konfiguration werden von jedem PC erneut die E-Mails runtergeladen (als ob Erstzugriff erfolgt).
Bei der FRITZ!Box gäbe es theoretisch auch die Möglichkeit, einen USB-Stick als Netzwerklaufwerk einzurichten und die E-Mails zentral im Netzwerk zu verwalten (Konten auf dem USB-Stick). Outlook ist aber von Haus aus nicht netzwerkfähig (dafür gibt es MS Exchange) und kann nach meiner Kenntnis nur über kostenpflichtige Zusatz-Tools im Netz arbeiten. Es gibt eine Bastellösung, die aber schwer zu handhaben und unsicher ist - der Zugriff auf die Kontoablage im Netz von 2 PCs gleichzeitig geht auf keinen Fall bei dieser Bastellösung.
Am besten ist es, die Kontoart auf IMAP/HTTP/WebDAV zu ändern ... dann bleiben die E-Mails grundsätzlich auf dem Server und werden nur auf Anforderung runtergeladen (Kopie verbleibt auf dem Server). Ist auch sicherer, da eventuell in der E-Mail oder im Anhang versteckte Malware gar nicht erst runtergeladen wird und gleich auf dem E-Mail-Server gelöscht werden kann.
E-Mails nur auf fremden Servern zu belassen, erscheint nur auf dem ersten Blick unsicherer - Fakt ist, daß E-Mails in 99,9999% auf privaten PCs (unwiederbringlich) verloren gehen, nicht auf einem E-Mail-Server (ist aber auch schon passiert).
rill