Hallo zusammen!
Dieser Thread ist wohl nur etwas für die Mathematik-Begeisterten unter euch... folgendes Szenario: Stellt euch eine unendlich große Lostrommel vor, in der sich unendlich viele Kugeln befinden. Auf jeder Kugel ist eine natürliche Zahl aufgedruckt, so dass alle natürlichen Zahlen genau einmal vorkommen. Die Kugeln sind gut gemischt.
Eine Glücksfee greift in die Lostrommel und zieht eine Kugel - wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Kugel mit einer Primzahl fischt? Oder, etwas nüchterner gesagt: Wie groß ist der prozentuale Anteil der Primzahlen an allen natürlichen Zahlen?
Mathematiker haben bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt - bekannt ist aber auch, dass ihre Häufigkeit bei sehr hohen Zahlen logischerweise abnimmt: Je mehr Primzahlen wir unter den kleineren Zahlen ermittelt haben, desto mehr Produkte aus diesen Zahlen gibt es unter den größeren Zahlen, die dann ihrerseits keine Primzahl mehr sein können.
Die Frage ist nun, ob die Primzahlenquote bei sehr hohen Zahlen gegen Null konvergiert - oder ob es einen endlichen Grenzwert dafür gibt.
Schon Ende der 80er Jahre habe ich versucht, dieser Frage auf den Grund zu gehen und meinen alten Atari darauf angesetzt. Mit Omikron Basic hatte ich damals ein Programm geschrieben, das diese Quote berechnet. Die Formel dafür war ganz simpel: Wenn man davon ausgeht, dass eine Primzahl außer durch 1 und durch sich selbst "durch nichts" teilbar ist, also nicht durch 2, nicht durch 3, nicht durch 5, nicht durch 7 usw., dann ergibt sich als Formel für die Grenzwertberechnung:
- nicht durch 2 teilbar: Wahrscheinlichkeit = 1/2
- nicht durch 3 teilbar: Wahrscheinlichkeit = 2/3
- nicht durch 5 teilbar: Wahrscheinlichkeit = 4/5
- nicht durch 7 teilbar: Wahrscheinlichkeit = 6/7
- und so weiter
Die Primzahlenquote liegt also bei: 100% * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 *...
Etwas technischer ausgedrückt: Für jede neu ermittelte Primzahl P muss die bis dahin errechnete Quote mit (P-1)/P multipliziert werden. Damit wird diese im Laufe der Zeit immer kleiner, wobei die Verkleinerung immer langsamer vonstatten geht, denn je größer P wird, desto mehr konvergiert (P-1)/P gegen 1.
Nachdem ich den armen Rechenknecht Tage und Nächte habe laufen lassen und er somit für andere weit praktischere Aufgaben gänzlich blockiert war, kam ich auf einen Wert von etwas über 3%; ca. in der Nähe von π. Dann habe ich es irgendwann aufgegeben, zumal das Programm mit steigenden Zahlen zunehmend langsamer wurde. Ich weiß auch leider nicht mehr, bis zu welcher Primzahl ich noch gekommen bin.
Was meint ihr: Konvergiert der Anteil der Primzahlen in der Unendlichkeit gegen Null, oder pendelt er sich bei einem endlichen Grenzwert über Null ein und wenn ja, wie groß ist dieser? - denkbar sind beide Möglichkeiten...
CU
Olaf
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siebenkäs
