Das sind zwei verschiedene Sachen.
Der Vorschlag, Chrome zum Standardbrowser zu machen kommt von Chrome selber. Solange diese Option in den Einstellungen nicht abgewählt wird, wird er das auch ohne eingestelltes Bing als Suchmaschine immer wieder plärren.
Das Verhalten hättest Du beim Starten von Edge m.E. ebenfalls und wenn Du den Fox nicht zum Standard machst, fragt der das ebenfalls ab.
Und die Suchmaschine selber wie hier Bing ändert man ebenfalls in den Einstellungen des jeweiligen Browsers.
Dabei hat das Eine mit dem Anderen nichts zu tun.
Bing kommt hier wahrscheinlich als Startseite und nicht als Suchmaschine, weil schlicht die Einstellungen des Edge kopiert wurden. Wobei Chrome und Edge ohnehin "dieselbe Wichse" sind, seit Edge auf der Engine von Chrome basiert.