Vorschlag:
Du installierst Dir lokal auf Deinem PC eine E-Mail-Software (z.B. Mozilla Thunderbird).
https://www.mozilla.org/en-US/thunderbird/all/
Du richtest in dieser Software ein E-Mail-Konto mit POP3-Zugriff auf Dein bisheriges GMX-Konto ein.
https://hilfe.gmx.net/pop-imap/pop3/thunderbird.html
Du holst nun mit Thunderbird alle bei GMX gespeicherten E-Mails ab. Sie stehen Dir dann - unabhängig von einer Verbindung zum GMX-Server - jederzeit lokal zur Verfügung.
Nun exportierst Du bei GMX Dein Adressbuch in dem Format für Thunderbird.
https://hilfe.gmx.net/adressbuch/synchronisieren/export.html
Die Exportdatei importierst Du in Thunderbird.
Du hast nun auch Deine Adressen lokal zur Verfügung und bist diesbezüglich nicht mehr auf GMX angewiesen.
Nun kannst Du bei dem E-Mail-Anbieter Deines Vertrauens einen neuen E-Mail-Account anlegen und diesen ebenfalls in Thunderbird integrieren.
Nun kannst Du - wenn alles getestet ist und funktioniert - den alten GMX-Account (bei GMX!) löschen.
Im Thunderbird stehen Dir jetzt sowohl die alten E-Mails (aus dem alten Account) also auch die neuen E-Mails zur Verfügung.
Natürlich kann man das selbe Prozedere auch mit anderen E-Mail-Programmen erledigen (Outlook, Pegasus usw.).
Gruß, mawe2
PS. Warum willst Du das neue Konto wieder bei GMX einrichten? Für meinen Geschmack verlangen die bei der Registrierung viel zu viele persönliche Daten, die sie eigentlich nichts angehen. Ich würde einen Anbieter nutzen, der nur die absolut notwendigen Daten verlangt (z.B. Telekom) .