Es wundert mich, dass Du beide Versionen (Office 2010 und Office 365) überhaupt parallel installieren konntest. Eigentlich geht das gar nicht.
Selbst bei sehr alten Office-Versionen (97, 2000, 2003) war es zwar noch möglich, mehrere Versionen parallel zu installieren, Microsoft hat aber immer davon abgeraten und Outlook war davon immer ausgenommen. Man hatte dann vielleicht 2x Word und 2x Excel aber immer nur 1x Outlook.
Es ist jedenfalls generell keine gute Idee, diese beiden Versionen auf dem selben System parallel zu betreiben.
Wie bist Du überhaupt darauf gekommen, das so zu machen?
An Deiner Stelle würde ich erstmal Office 2010 komplett deinstallieren und danach prüfen, ob Office 365 überhaupt noch funktioniert. Evtl. musst Du dann anschließend noch eine Reparaturinstallation von Office 365 durchführen.
Die fraglichen Datendateien solltest Du natürlich in jedem Falle vorher sichern.
Wie bekomme ich die In Outlook 2010 gelandeten E-Mails nach Outlook 365?
Das kommt ganz drauf an, welche Protokolle Du benutzt und welche Servereinstellungen Du gewählt hast.
Bei IMAP sollten ja die Mails sowieso noch auf dem Server verbleiben, dann müsste man sie auch von dort nochmal herunterladen können.
Bei POP kann man auch einstellen, dass die Mails auf dem Server bleiben. Hast Du das nicht gemacht, hat das eine Outlook die Mails nach dem Abholen vom Server gleich gelöscht. Dann kannst Du sie natürlich von dort auch nicht mehr abholen.
Evtl. kannst Du in dem einen Outlook die empfangenen Mails in eine spezielle PST-Datei exportieren und diese dann bei dem anderen Outlook wieder importieren? Das könnte ich mir jedenfalls vorstellen, habe aber praktisch damit keine Erfahrungen.
Gruß, mawe2