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Intervallschachtelung der Eulerschen Zahl

BigBossBigge / 17 Antworten / Baumansicht Nickles

Hallo.

Ich halte am Donnerstag einen Vortrag über die Eulersche Zahl und habe darin u.a. den Auftrag bekommen eine Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl während der Präsentation vorzunehmen. Dazu hat mir der Lehrer eine Seite aus einem alten Mathebuch aus der DDR gegeben (Mathe 12), die ich hier hochgeladen habe:

www.ImageBanana.net - Mathebild0001.JPG und nochmal etwas kleiner: www.ImageBanana.net - Mathebild0002.jpg

Und nun folgendes Problem: Ich kann alle Schritte aus der Schachtelung nachvollziehen, ich weiß nur nicht, warum auf einmal die Funktion f(x)=1/x auftaucht. Ist die zufällig gewählt, oder hat die eine bestimmt Bedeutung (zum Beispiel als Umkehrung des Logarithmus oder so). Kurz darauf folgt ja dann auch schon die Folge 1+1/n. Ist diese auch zufällig gewählt, oder ist die irgendwie nachvollziehbar?

Ich hoffe, dass hier jemand von euch etwas Mathe-affin ist, aber ich denke mal schon ;-)

Vielen Dank für eure Hilfe, das wäre echt super, wenn ihr mir das etwas erläutern könntet.

Gruß,
BigBossBigge

So long ... BBB
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Borlander BigBossBigge „Intervallschachtelung der Eulerschen Zahl“
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1/x ist die Ableitung von ln(x) und das Integral von 1/x ist ln|x|.

Die obere und unteren Schranken findet Du als Rechtecke in der Zeichnung wieder. Vielleicht hilft Dir das ja schon irgendwie weiter.

Gruß && n8
Borlander

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BigBossBigge Borlander „1/x ist die Ableitung von ln x und das Integral von 1/x ist ln x . Die obere und...“
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Vielen Dank, das hilft mir schon weiter. Also ist das wohl für die Beweisführung so gewollt und 1/x ist einfach so hinzunehmen.
Mit den Schranken habe ich mir das auch so gedacht, beim Nachzeichnen ist mir das auch aufgefallen.

Wie gesagt, wirklich vielen Dank und einen schönen Abend noch!

So long ... BBB
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Xdata BigBossBigge „Intervallschachtelung der Eulerschen Zahl“
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Hmm,
e ist ja nicht nur eine tranzendente Zahl sondern auch die Basis der natürlichen logarithmen.

Das ist nicht zufällig sondern wohl daher eine günstige Basis zu bekommen.

Die 10 ist nicht so geeignet, da etwas groß.
Die 1 geht natürlich nicht da 1 hoch positive reele Zahl = 1

nimmt die minimal größere 1.01 und gleicht durch Potenzieren
wieder aus: 1.01 hoch 100 =2.70481383

... und mit dem google Rechner

1.0001^10 000 = 2.71814593, sieht schon eher nach e aus

1.0000001^10 000 000 = 2.71828169 noch mehr.

Es gibt sicher noch mehr Gründe für die Bedeutung der Eulerschen Zahl
und warum eine so krumme aber unendlich genaue Zahl als natürliche Basis genommen wird.



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Xdata Nachtrag zu: „Hmm, e ist ja nicht nur eine tranzendente Zahl sondern auch die Basis der...“
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Ach ja,
wichtig ist noch die eminente bedeutung von e im zusammenhang mit anderen fundamentalen Zahlen.

e ^ (2 Pi i) = 1

e hoch
2*Pi * i = 1

wobei i die imaginäre Eins ist, Pi die Keiszahl, und 1 das fundamentale Element dwe natürlichen Zahlen.

Die 2 die einzige gerade Primzahl..


e, verbindet das alles bis zu den komplexen Zahlen.

Die ja auch die Imaginären enthalten!

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KarstenW Xdata „Ach ja, wichtig ist noch die eminente bedeutung von e im zusammenhang mit...“
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Die e-Funktion ist eine Wachstumskonstante in der Natur.
Zum Beispiel wachsen Haare nach einer e-Funktion ;-).


Debian GNU/Linux https://www.debian.org/index.de.html
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gerhard38 KarstenW „Die e-Funktion ist eine Wachstumskonstante in der Natur. Zum Beispiel wachsen...“
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Bei der Wachstumskonstante in der Natur kann ich zustimmen, das mit den Haaren bezweifle ich.
Wenn du eine Zellkultur hast, wo sich ein bestimmter Prozentsatz der Zellen pro Zeiteinheit teilen, und du möchtest ausrechnen, wieviele Zellen z2 zum Zeitpunkt t2 vorhanden sein werden, wenn zum Zeitpunkt t1 die Zellzahl z1 war (und noch der Nebenbedingung, dass der mathematischen Vermehrung keine sonstigen Hemmnisse im Wege stehen, wie abnehmende Nährstoffe, Licht, etc. etc.), dann geht das über die e-Funktion (auch unter dem Begriff "stetige Verzinsung" bekannt, denn jede hinzugekommene Zelle nimmt selbst gleich wieder mit dem entsprechenden Prozentanteil an der weiteren Vermehrung / Wachstum teil).

Haare hingegen wachsen nicht über die ganze Länge, sondern nur an der Haarwurzel, und zwar umso langsamer(!), je länger die Haare sind, denn sonst würden lange Haare "explosionsartig" noch länger werden und es käme zu keinem Stillstand des Längenwachstums.

Gruß, Gerhard

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out-freyn gerhard38 „Bei der Wachstumskonstante in der Natur kann ich zustimmen, das mit den Haaren...“
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und zwar umso langsamer(!), je länger die Haare sind

Echt? Haare sind doch totes Keratin - woher bekommt die Haarwurzel die Information, wie lang die Haare sind?
The conspiracy theory of society [...] comes from abandoning God and then asking: »Who is in his place?« (Sir Karl Popper, Conjectures and Refutations, 1963)
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gerhard38 out-freyn „ Echt? Haare sind doch totes Keratin - woher bekommt die Haarwurzel die...“
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Echt? Haare sind doch totes Keratin - woher bekommt die Haarwurzel die Information, wie lang die Haare sind? .
Gute Frage. Tatsache ist, dass weder die Bäume in den Himmel noch die Haare oder der Bart ins Endlose wachsen - und schon gar nicht exponentiell. Ich würde aber einmal _annehmen_, dass sich das über das Gewicht der Haare regelt: Je länger ein Haar schon geworden ist, um so schwerer ist es und um so stärker zieht es an der Haarwurzel. Frag mich jetzt aber nicht, wie die Haarwurzel das dann macht, aufgrund des Gewichts das Haar nicht mehr länger wachsen zu lassen.

Gruß, Gerhard
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out-freyn gerhard38 „. Gute Frage. Tatsache ist, dass weder die Bäume in den Himmel noch die Haare...“
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Also in Bezug auf das exponentielle Wachstum sind wir einer Meinung, das steht nicht zur Debatte :-)

Tatsache ist, dass weder die Bäume in den Himmel noch die Haare oder der Bart ins Endlose wachsen

Das könnte bei Haaren aber auch an der begrenzten Lebensdauer liegen. Mehr als 7 Jahre schafft kaum ein Haar, weswegen bei 7 x 15 cm Haarlänge i.d.R. Schluss ist. (Die 15 cm sind das angenommene Wachstum pro Jahr.)

Edit: Mittlerweile habe ich folgenden Link gefunden:
http://www.zeit.de/stimmts/1998/1998_13_stimmts

The conspiracy theory of society [...] comes from abandoning God and then asking: »Who is in his place?« (Sir Karl Popper, Conjectures and Refutations, 1963)
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shrek3 out-freyn „ Echt? Haare sind doch totes Keratin - woher bekommt die Haarwurzel die...“
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Bei den Augenbrauen hört es nach einer bestimmten Dauer auf - und wenn man sie abschneidet, wachsen sie wieder.
Auch auf Achselhaare, Schamhaare, usw. trifft dies zu.

Was mir an dem Artikel in der Zeit jedoch nicht einleuchtet:
Wenn ich mir die Scham-, Achselhaare oder Augenbrauen lediglich kurz schneide - wieso wachsen diese dann quasi alle gleichzeitig nach?

Nach den Infos in der Zeit müssten diese bis zum Ende ihres Lebensabschnitts doch kurz bleiben, dann ausfallen und erst zum Schluss durch neues Haar ersetzt werden...

Rätselhaft.

Gruß
Shrek3

Fatal ist mir um das Lumpenpack, das, um Herzen zu rühren, den Patriotismus trägt zur Schau, mit all seinen Geschwüren. Heinrich Heine
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gerhard38 shrek3 „Bei den Augenbrauen hört es nach einer bestimmten Dauer auf - und wenn man sie...“
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Wo etwas zu wachsen aufhört ist eines der Rätsel der Biologie: Warum wächst die Nasenspitze nicht noch etwas weiter? Wie kann sie wissen, dass sie schon weit genug gewachsen ist? Inzwischen kann man sich ganz gut vorstellen, wie mit Hilfe des genetischen Codes in der DNA die Aminosäuresequenz der Proteine festgelegt wird, aber warum welches Protein sich an welche Stelle (der Zellen) begibt und wie das gesteuert wird, dass sich Zellen vermehren sollen oder nicht, ist eher rätselhaft. Sobald das Zellwachstum nämlich nicht mehr am gewünschten "Endpunkt" zum Stillstand kommt, hat man beispielsweise Krebs. Damit ist aber auch gleichzeitig gesagt, dass es nicht an der Blutversorgung des Gewebes liegen kann, dass das der limitierende Faktor ist, ob Zellen sich weiter teilen können, denn beim Krebs stellt man fest, dass das wuchernde Gewebe "auch dafür sorgt", dass sich Blutgefäße neu bzw. zusätzlich bilden, um die Versorgung mit Nährstoffen zu gewährleisten.

Solche und andere Fragen veranlassten den englischen Biologen Rupert Sheldrake "morphogenetische Felder" zu postulieren (http://de.wikipedia.org/wiki/Rupert_Sheldrake), für die er aber wegen "Unwissenschaftlichkeit" und "Verstoß gegen Ockhams Razor" (http://de.wikipedia.org/wiki/Ockhams_Rasiermesser) von der scientific community arg gescholten wurde.

Gruß, Gerhard

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BigBossBigge Nachtrag zu: „Intervallschachtelung der Eulerschen Zahl“
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Jetzt ist alles geklärt. Ich weiß zwar nicht was meine spezielle Frage in diesem Bezug mit dem Haarwachstum zu tun hat (^^), aber es ist ja auch die Off-Topic-Ecke ;-)

So long ... BBB
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gerhard38 BigBossBigge „Jetzt ist alles geklärt. Ich weiß zwar nicht was meine spezielle Frage in...“
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Die Antworten von Borlander und Xdate genügen dir nicht?

Gruß, Gerhard

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BigBossBigge gerhard38 „Die Antworten von Borlander und Xdate genügen dir nicht? Gruß, Gerhard“
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Doch, die genügen mir beide. Ich habe auch schon unter Borlanders Post geschrieben; wenn du dir das durchliest, dann weißt du, dass mir das genügt hat.

Gruß, BiBoBi

So long ... BBB
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gerhard38 BigBossBigge „Doch, die genügen mir beide. Ich habe auch schon unter Borlanders Post...“
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... 1/x ist einfach so hinzunehmen ...
Das ist eben nicht einfach so hinzunehmen (denke ich). Integral über eine Funktion bedeutet ja, dass man die Fläche unter der Kurve ermittelt, wobei die Integrationskonstante c dann durch Subtraktion wegfällt, wenn man die obere und untere Grenze des Integrals bestimmt.

Die Fläche unter der Hyperbel 1/x ist aber ln(x), und ln(x) bedeutet: Was muss ich in den Exponenten der Basis e schreiben, damit x herauskommt. Die Frage lautet jedoch nach einem Beweis für ln(e) = 1, und was dir da vorgeführt wird ist, wie man die eigentlich unanschauliche logarithmische Funktion ln(x) dadurch anschaulich macht, dass man sie als Fläche unter der Hyperbel 1/x interpretiert und mit den Flächen zweier Rechtecke vergleicht, wobei eines so groß ist, dass es von der oberen Grenze weggeht und das kleinere von der unteren. Der gesuchte Wert der Fläche für ln(x) muss da dazwischen liegen, wie man ja in der Zeichnung sieht.

Gruß, Gerhard

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Heliotrop gerhard38 „ Das ist eben nicht einfach so hinzunehmen denke ich . Integral über eine...“
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Das Besondere an der Zahl e besteht auch darin, dass das Integral über (e ^ x) wieder die Funktion (e ^ x) ist. Es gibt keine andere Funktion, bei der das der Fall ist.

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BigBossBigge gerhard38 „ Das ist eben nicht einfach so hinzunehmen denke ich . Integral über eine...“
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Aha, das leuchtet ein :-)
Jetzt ergibt die Wahl von 1/x also doch Sinn, denn die Ableitung von ln(x) beträgt 1/x und das Integral von 1/x beträgt ln(x). Mit der 1. Ableitung von ln(x) lässt sich das ganze wohl etwas besser erklären, da dann auch ersichtlich ist, dass die Fläche unter dem Graphen ln(x) ist.
Also muss ich mich jetzt mal entschuldigen, das war mir vorher nicht ganz so klar, bzw. erschien es mir nicht so einleuchtend. Vielen Dank dafür!

Noch einen schönen Restmontag, BiBoBi

So long ... BBB
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