Hallo, mach mal die Eingabeaufforderung auf, und (Start -> Ausführen -> "cmd" eingeben -> OK) pinge ein wenig in der Gegend herum. Zuerst den Router, dazu gibst Du ein: ping xxx.xxx.xxx.xxx (statt der X natürlich die IP-Adresse Deines Routers).
Falls Du die nicht weisst: Start -> Systemsteuerung -> Netzwerkverbindungen -> Netzwerkkarte mit rechts anklicken -> Status. Dort steht die IP-Adresse die der Router Deinem PC zugewiesen hat, außerdem die Adresse des DHCP-Servers. Das ist die IP deines Routers. Wenn Du schonmal dort bist schaust Du gleich nach der IP des DNS-Servers. Die sollte die gleiche sein, wie die des DHCP. Wenn nicht stimmt wahrscheinlich etwas mit der Konfiguration Deines Routers nicht.
Dann pingst Du den Router an, und schaust ob er Dir antwortet. Wenn nicht, liegt der Fehler entweder an der Netzwerkkarte Deines PCs, dem Kabel zum Router oder dem Router selbst. (letzteres sehr unwahrscheinlich, da der andere PC ja damit funktioniert)
Antwortet Dir der Router, versuchst Du als nächstes einen Internetserver anzupingen, nämlich 80.237.205.56 - das ist die IP des Nickles-Servers. Antwortet der nicht, liegt der Fehler wahrscheinlich am Router.
Antwortet der auch testest Du als nächtstes die DNS-Auflösung, indem Du eingibst: ping www.nickles.de - jetzt solltest Du auch wieder Antwort vom o.g. Nickles-Server bekommen.
Dann schreibst Du uns mal, was funktioniert und was nicht. Unabhängig davon kannst Du der Netzwerkkarte in Deinem PC auch mal einen neuen Treiber verordnen, manche Windows-Standardtreiber für Netzwerkkarten verursachen die komischsten Probleme.